Teoria Matriz

A multiplicação de matrizes é um dos assuntos mais avançados da álgebra do ensino básico.

Para que seja possível multiplicar uma matriz $A_{m \times n}$ por uma matriz $B_{u \times v}$ é necessário que $n = u$, ou seja, que o número de colunas da matriz $A$ seja igual ao número de linhas da matriz $B$.

Desta maneira, o resultado do produto entre $A_{m \times n}$ e $B_{u \times v}$ será uma matriz $C_{m \times v}$, ou seja, ela terá o mesmo número de linhas da matriz $A$ e o mesmo número de colunas da matriz $B$.

$$A_{\color{blue}m \times \color{green}n} \cdot B_{\color{green}u \times \color{red}v} = C_{\color{blue}m \times \color{red}v}$$

Algebricamente, um elemento $c_{ij}$ do resultado é determinado através da operação:
$$c_{ij} = a_{i1}\cdot b_{1j} + a_{i2}\cdot b_{2j}+ \dots + a_{in}\cdot b_{nj}$$

Visualmente, estamos multiplicando os elementos da linha $i$ da matriz $A$ pelos elementos correspondentes da coluna $j$ da matriz $B$ e somando os resultados. O elemento $c_{21}$, por exemplo, é encontrado multiplicando a linha $2$ da matriz $A$ pela coluna $1$ da matriz $B$.

Observação

A multiplicação de matrizes não é comutativa! Isto é, a ordem importa para determinar o produto de matrizes.

$$AB \neq BA$$

Observe, por exemplo, que podemos multiplicar $A_{1 \times 4} \cdot B_{4 \times 2}$ nesta ordem, mas não podemos multiplicar $B_{4 \times 2} \cdot A_{1 \times 4}$; o número de colunas de $A$ é compatível com o número de linhas de $B$, mas o contrário não é verdadeiro.

Neste exemplo iremos multiplicar a matriz $A_{2\times 3}$ pela matriz $B_{3 \times 2}$

$$A =\left( \begin{array}{c c c}
0 & 1 & 2 \\
-1 & 0 & 0
\end{array}
\right) \hspace{2cm} B=
\left( \begin{array}{c c}
2 & 0 \\
-1 & 1 \\
0 & 3
\end{array}
\right ) $$

Repare que é possível realizar a multiplicação $A \cdot B$ pois $A$ tem $3$ colunas e $B$ tem $3$ linhas. Inclusive, já podemos prever que o resultado será uma matriz $2 \times 2$.

Primeiro iremos descobrir o elemento de posição $c_{11}$

$$\left( \begin{array}{c c c}
0 & 1 & 2 \\
-1 & 0 & 0
\end{array}
\right) \cdot \left( \begin{array}{c c}
2 & 0 \\
-1 & 1 \\
0 & 3
\end{array}
\right )
= \left( \begin{array}{c c}
c_{11} & \; \\
\; & \; \\
\end{array}
\right )$$

Para isso, multiplicamos cada elemento da linha $1$ de $A$ pelo elemento correspondente da linha $1$ de $B$ e somamos os resultados:

$\begin{align}
c_{11} &= 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 \\
c_{11} &= 0 -1 + 0 \\
c_{11} &= -1
\end{align}$

Agora, multiplicando a linha $2$ de $A$ pela coluna $1$ de $B$, obteremos o elemento $c_{21}$ do resultado.

$\begin{align}
c_{21} &= -1 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \\
c_{21} &= -2 +0 + 0 \\
c_{21} &= -2
\end{align}$

Para encontrar os elementos $c_{12}$ e $c_{22}$ utilizaremos a coluna $2$ de $B$. As contas são similares às já feitas para os outros elementos:

$\begin{align}
c_{12} &= 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \\
c_{12} &= 0 +1 + 6 \\
c_{12} &= 7
\end{align}$

$\begin{align}
c_{22} &= -1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 3 \\
c_{22} &= 0 +0 + 0 \\
c_{22} &= 0
\end{align}$

Portanto, o resultado de $A \cdot B$ é:
$$\left ( \begin{array}{c c}
-1 & 7\\
-2 & 0\\
\end{array} \right)$$

1. O produto entre matrizes triangulares superiores também é uma matriz triangular superior.
2. O produto entre matrizes triangulares inferiores também é uma matriz triangular inferior.
3. O produto de matrizes diagonais também é uma matriz diagonal.

O conceito de potência pode ser estendido às matrizes:

$$A^n = \underbrace{A \cdot A \cdot \dots A}_{n\text{ vezes}}$$

Devido à natureza do produto de matrizes, só é válido calcular potências de matrizes quadradas!

Dada a matriz
$$A = \left( \begin{array}{c c}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{array} \right ),$$

iremos calcular $A^3$.
$$A^2 = A \cdot A = \left( \begin{array}{c c}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{array} \right ) \cdot \left( \begin{array}{c c}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{array} \right )$$
$$A^2 = \left( \begin{array}{c c}
2\cdot 2 + 0 \cdot 1 & 2 \cdot 0 + 0 \cdot 3 \\
1 \cdot 2 + 3 \cdot 1& 1 \cdot 0 + 3 \cdot 3
\end{array} \right ) = \left( \begin{array}{c c}
4 & 0 \\
5 & 9
\end{array} \right )$$

$$A^3 = A \cdot A^2 = \left( \begin{array}{c c}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{array} \right ) \cdot \left( \begin{array}{c c}
4 & 0 \\
5 & 9
\end{array} \right )$$
$$A^3 = \left( \begin{array}{c c}
2\cdot 4 + 0 \cdot 5 & 2 \cdot 0 + 0 \cdot 9 \\
1\cdot 4 + 3\cdot 5 & 1 \cdot 0 + 3 \cdot 9
\end{array} \right ) = \left( \begin{array}{c c}
8 & 0 \\
19 & 27
\end{array} \right )$$

A matriz identidade é o elemento neutro na multiplicação de matrizes. Seja $A_{m \times n}$ uma matriz. Então:

$$A \cdot I_n = A$$

A ordem da matriz identidade deve ser igual ao número de colunas de $A$.

Observe que, por definição, a matriz identidade é uma matriz quadrada, mas a matriz $A$ não precisa necessariamente ser uma matriz quadrada.