Teoria Matriz

Uma matriz quadrada é dita simétrica se ela é igual à sua transposta.
Matematicamente, para uma matriz $(a_{ij})$ ser simétrica é necessário que:
$$a_{ij} = a_{ji}$$
para qualquer $i$ e $j$.

Essa definição só se aplica a matrizes quadradas pois a única chance de uma matriz $m \times n$ ser igual a uma matriz $n \times m$ é se $m=n$.

A matriz identidade (de qualquer ordem) é simétrica:

$$ I_4 =\left ( \begin{array}{c c c c}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \right ) \Rightarrow I_4^t =\left ( \begin{array}{c c c c}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \right )$$

A matriz $S$ abaixo também é simétrica:

$$ S =\left ( \begin{array}{c c}
-1 & 7 \\
7 & -1
\end{array} \right ) \Rightarrow S^t =\left ( \begin{array}{c c}
-1 & 7 \\
7 & -1
\end{array} \right ) $$

Qual deve ser o valor de $m$ para que a matriz abaixo seja simétrica?

\begin{pmatrix}
3 & 1 & 2m + 2 \\
1 & 11 & 0 \\
m & 0 & 8
\end{pmatrix}

Para que uma matriz seja simétrica, é necessário que $a_{ij} = a_{ji}$ para quaisquer $i$ e $j$. Em particular, é necessário que:

$$2m + 2 = m$$

Resolvendo esta equação:

\begin{align}
2m + 2 &=m \\
2m- m &= – 2 \\
m &= -2
\end{align}

Portanto o valor de $m$ deve ser $-2$.